3. Espacios vectoriales
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Es importante destacar que el espacio fila de A es igual al espacio fila de B, es decir
gen({(i, −1, 2, 2), (−1, i, 0, −3), (1, −2i, 2, 1)}) = gen({u1 , u2 , u3 }).
Se deja como actividad a los estudiantes verificar que lo anterior es cierto.
Ahora queremos encontrar una bases para S2 , consideremos la transpuesta de la matriz
A, y luego aplicar las operaciones elementales entre filas para escribir A⊤ en forma
escalonada reducida
i −1
1
−1
i −2i
.
A⊤ =
2
0
2
2 −3
1
Mediante operaciones elementales entre filas, la matriz A⊤ se puede escribir en forma
escalonada reducida como se muestra a continuación
1 0 0
0 1 0
C=
0 0 1 .
0 0 0
Luego, por el teorema 3.6 se tiene que los vectores fila de C diferentes de cero,
u1 = (1, 0, 0) , u2 = (0, 1, 0) , u3 = (0, 0, 1)
forma una base del espacio columna de A, es decir, es una base para S2 .
b) Encuentre una base para el espacio fila y columna de
1 3
1
3
0 1
2
0
7 −1
A = −3 0
.
3 4
1
1
2 0 −2 −2
Solución.
Queremos encontrar una base para el espacio fila de la matriz A, es decir, una base
para el subespacio
S3 = gen({(1, 3, 1, 3), (0, 1, 2, 0), (−3, 0, 7, −1), (3, 4, 1, 1), (2, 0, −2, −2)}).