3.4. Dimensión
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Solución. El espacio fila de A es el conjunto gen({(1, 0, 0, 4i), (0, 1, 0, −7), (0, 0, 1, 8i)})
y el espacio columna de A es el conjunto gen({(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (4i, −7, 8i)}).
A continuación se establece una forma de hallar una base para el espacio fila de una
matriz A, donde el uso de las operaciones elementales entre filas se torna vital para
tal proceso.
Teorema 3.6 Si una matriz A ∈ Mm×n (F) es equivalente por fila a una matriz
B ∈ Mm×n (F) que está en forma escalonada reducida, entonces los vectores fila de
B diferentes de cero forman una base para el espacio fila de A.
La demostración de este teorema se deja como actividad para los estudiantes.
Ejemplo 3.16
a) Encuentre una base para el espacio fila y columna de
i −1 2
2
A = −1
i 0 −3 .
1 −2i 2
1
Solución. Queremos encontrar una base para el espacio fila y columna de la matriz
A, es decir, una base para el subespacio
S1 = gen({(i, −1, 2, 2), (−1, i, 0, −3), (1, −2i, 2, 1)}),
S2 = gen({(i, −1, 1), (−1, i, −2i), (2, 0, 2), (2, −3, 1)}).
Mediante operaciones elementales entre filas, la matriz A se puede escribir en forma
escalonada reducida como se muestra a continuación
B=
13 11
− i
1 0 0
5
5
11 2
0 1 0 − + i
5
5
6 11
0 0 1 − − i
5 10
.
Luego, por el teorema 3.6 se tiene los vectores fila de B diferentes de cero,
11 2
6 11
13 11
− i , u2 = 0, 1, 0, − + i , u3 = 0, 0, 1, − − i
u1 = 1, 0, 0,
5
5
5
5
5 10
forma una base del espacio fila de A, es decir, es una base para S1 .