3. Espacios vectoriales
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3.4.
Dimensión
Hasta el momento se ha trabajado con conjuntos generadores, independencia lineal y
base lo cual nos conduce al estudio de importantes conceptos de los espacios vectoriales. Sabemos que por el teorema 3.5, si un espacio vectorial V tiene una base de
k vectores, entonces toda otra base del espacio también constan de k elementos, por
cual es pertinente definir que.
Definición 3.7 Si un espacio vectorial (V, F, +, ·) tiene una base de k elementos, entonces el número k se denomina dimensión de V y se denota por dim(V ) = k. Si V
consta solamente del vector nulo, entonces la dimensión de V se define como cero.
La definición anterior permite observar lo siguiente acerca de las dimensiones de algunos espacios conocidos.
Ejemplo 3.13
a) Dado que el espacio vectorial (R3 , R, +, ·) tiene una base que consta de tres elementos, entonces dim(R3 ) = 3.
b) Dado que el espacio vectorial (Rn , R, +, ·) tiene una base que consta de n elementos,
entonces dim(Rn ) = n.
c) Dado que el espacio vectorial (F2 [x], F, +, ·) tiene una base que consta de 3 elementos, entonces dim(F2 [x]) = 3.
d) Dado que el espacio vectorial (Fn [x], F, +, ·) tiene una base que consta de n + 1
elementos, entonces dim(Fn [x]) = n + 1.
e) Dado que el espacio vectorial (M4×1 (F), F, +, ·) tiene una base que consta de 4
elementos, entonces dim(M4×1 (F)) = 4.1 = 4.
f ) Consideremos el espacio vectorial (R3 , R, +, ·). Determinar la dimensión de los subespacios,
1. W1 = {(d, c − d, c) ∈ R3 : d, c ∈ R},
2. W2 = {(2b, b, 0) ∈ R3 : b ∈ R}.
Solución.
1. Queremos encontrar un conjunto de elementos linealmente independiente que genere
el subespacio W1 . Sea (d, c − d, c) ∈ W1 , note que
(d, c − d, c) = (0, c, c) + (d, −d, 0)
= c(0, 1, 1) + d(1, −1, 0).