3.4. Dimensión
147
Se observa que W1 es generado por el conjunto S = {(0, 1, 1), (1, −1, 0)}. Además se
puede probar que S es linealmente independiente. Por lo tanto, S forma una base para
W1 y se concluye que dim(W1 ) = 2.
2. Queremos encontrar un conjunto de elementos linealmente independiente que genere
el subespacio W2 . Sea (2b, b, 0) ∈ W1 , note que
(2b, b, 0) = b(2, 1, 0).
Se observa que W2 es generado por el conjunto S = {(2, 1, 0)}. Además se puede
probar que S es linealmente independiente. Por lo tanto, S forma una base para W2 y
se concluye que dim(W2 ) = 1.
g) Consideremos el espacio vectorial (R4 , R, +, ·). Encuentre la dimensión del subespacio W de R4 generado por,
S = {(−1, 2, 5, 0), (3, 0, 1, −2), (−5, 4, 9, 2)}.
Solución.
Sabemos que W = gen(S), pero S no es linealmente independiente. Entonces S no
forma una base para W . Note que (−5, 4, 9, 2) = 2 · (−1, 2, 5, 0) − (3, 0, 1, −2), es
decir, W es generado por el conjunto S1 = {(−1, 2, 5, 0), (3, 0, 1, −2)}. Además S1 es
linealmente independiente, por lo tanto S1 es una base de W . Así dim(W ) = 2.
h) Consideremos el espacio vectorial (M2 (F), F, +, ·). Encuentre la dimensión de l subespacio W = {A ∈ M2 (F) : A = A⊤ } de M2 (F).
Solución.
A⊤
1 0
0 0
0 1
0 0
,
,
1 0
0 1
a b
Sea A ∈ M2 (F). Entonces A =
=
, con a, b, c ∈ F. Luego,
b c
a b
a 0
0 b
0 0
=
+
+
b c
0 0
b 0
0 c
1 0
0 1
0 0
= a·
+b·
+c·
.
0 0
1 0
0 1
Así, el conjunto
S=
genera a W . Además se puede probar que S es linealmente independiente y se concluye
que dim(W ) = 3.