3.3. Independencia lineal y base
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Para probar que la unicidad, supongamos que existen escalares a1 , a2 , · · · , ak ∈ F tal
que,
u = a1 · u1 + a2 · u2 + · · · + ak · uk .
Luego, u − u = u = (a1 − c1 ) · u1 + (a2 − c2 ) · u2 + · · · + (ak − ck ) · uk .
Como S es linealmente independiente, ya que S forma una base de V . Entonces la
única solución de esta ecuación es la trivial,
a1 − c1 = 0, a2 − c2 = 0, · · · , ak − ck = 0.
Es decir, ai = ci para todo i ∈ {1, 2, 3, · · · , k}. Por lo tanto, u tiene una sola representación para S.
El siguiente teorema nos facilita determinar si un subconjunto S de un espacio vectorial
V es linealmente dependiente con solo comparar la cantidad de elementos de la base
de V con S.
Teorema 3.4 Sean (V, F, +, ·) un espacio vectorial y S = {u1 , u2 , · · · , uk } una base
de V . Entonces todo subconjunto de V que contiene más de k elementos es linealmente
dependiente.
La demostración de este teorema se deja como actividad para los estudiantes.
Ejemplo 3.12
a) Dado que el espacio vectorial (R3 , R, +, ·) tiene una base que consta de tres elementos, entonces el conjuntos S = {(1, −2, 1), (1, 1, 0), (2, 3, 0), (5, 9, −1)} es linealmente
dependiente.
b) Dado que el espacio vectorial (F2 [x], F, +, ·) tiene una base que consta de tres elementos, entonces el conjunto S = {1, 1+x, 1−x, 1+x+x2 } es linealmente dependiente.
Hasta el momento sabemos que un espacio vectorial no posee una única base, pero el
siguiente teorema nos asegura que todas las base que posee el espacio vectorial tienen
la misma cantidad de elementos.
Teorema 3.5 Sean (V, F, +, ·) un espacio vectorial. Si la base de V tiene k vectores,
entonces toda base de V posee k elementos.
Prueba. Sea S1 = {u1 , u2 , · · · , uk } una base de V y sea S2 = {w1 , w2 , · · · , wm }
cualquier otra base de V . Como S1 es una base de V y S2 es linealmente independiente.
Entonces por el teorema 3.4, se tiene que m ≤ k. De manera similar k ≤ m, ya que S1
es linealmente independiente y S2 es una base de V . Por lo tanto, k = m.