3. Espacios vectoriales
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Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que el sistema posee solución
c1 =
x k z
k x z
y k
k y x z
− − , c2 = + + , c3 = − , c4 = + − − .
2
4 2
4
2 2
4 8
8 4 2 2
Esto quiere decir que existen escalares c1 , c2 , c3 , c4 tal que,
1
1
0
0
0
1
3
1
c1 ·
−1 + c2 · 0 + c3 · 1 + c4 −1
0
2
−2
2
x
y
= .
z
k
Por lo tanto, gen(S) = M4×1 (F). Así, el conjunto S forma una base para M4×1 (F).
b) Consideremos el espacio vectorial (F3 [x], F, +, ·) y el subconjunto S = {1, x, x2 , x3 }
de F3 [x]. ¿Será S una base de F3 [x]?
Solución. Note que,
gen(S) = {a0 + a1 · x + a2 · x2 + a3 · x3 : a0 , a1 , a2 , a3 ∈ F} = F3 [x].
Por lo tanto S genera a F3 [x], faltaría probar que el conjunto S es linealmente independiente. Supongamos que existen escalares a0 , a1 , a2 , a3 ∈ F tal que,
a0 · 1 + a1 · x + a2 · x2 + a3 · x3 = 0.
Para que un polinomio sea idénticamente igual a cero todos sus coeficientes deben ser
nulos, es decir, a0 = a1 = a2 = a3 = 0. Por lo tanto, S es linealmente independiente,
y en consecuencia S forma una base para F3 [x].
c) Consideremos el espacio vectorial (M2 (F), F, +, ·). Se puede verificar que el subconjunto
1 0
0 1
0 0
0 0
S=
,
,
,
0 0
0 0
0 1
1 0
forma una base para M2 (F).
Un uso importante de una base de un espacio vectorial es que sirve