Álgebra Lineal | Page 151

3.3. Independencia lineal y base

143

Ejemplo 3.11
a) Consideremos el espacio vectorial (M4×1 (F), F, +, ·) y el subconjunto

   
 

1
1
0
0 




 1   3   1 
0 








S= 
,
,
,
−1   0   1   −1 





0
2
−2
2

de M4×1 (F). ¿Será S una base de M4·1 (F)?

Solución. Por el ejemplo 3.10(b), se tiene que el conjunto S el linealmente independiente. Faltaría probar que gen(S) = M4×1 (F).
 
x
 y 

Sea 
 z  ∈ M4×1 (F). Queremos encontrar escalares c1 , c2 , c3 , c4 ∈ F tal que,
k


  



 
0
x
0
1
1
 1   y 
 3 
 0 
 1 


  


 
c1 · 
 −1  + c2 ·  0  + c3 ·  1  + c4  −1  =  z  .
−2
2
2
k
0
Proceso de búsqueda,







 
x
0
1
0
1
 y 
 1
 0 
 3 
 1 

  = c1 · 



 
 z 
 −1  + c2 ·  0  + c3 ·  1  + c4  −1
−2
k
2
2
0

 
 
 

c1
c2
0
0

  c2   3c3   c4 
0
 
 
+

= 
 −c1  +  0  + 
c3   −c4 
0
2c2
−2c3
2c4


c1 + c2
 c2 + 3c3 + c4 

= 
 −c1 + c3 − c4  .
2c2 − 2c3 + 2c4







Al igualar las componentes correspondientes se llega al siguiente sistema de ecuaciones
lineales,

= x

 c1 + c2

c2 + 3c3 + c4
= y
−c
+
c
−
c
= z

1
3
4


2c2 − 2c3 + 2c4 = k.