3. Espacios vectoriales
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Proceso de búsqueda,
0
1
1
0
0
0
0
1
3
1
= c1 ·
0
−1 + c2 · 0 + c3 · 1 + c4 −1
0
0
2
−2
2
c1
c2
0
0
c2 3c3 c4
0
+
=
−c1 + 0 +
c3 −c4
0
2c2
−2c3
2c4
c1 + c2
c2 + 3c3 + c4
=
−c1 + c3 − c4 .
2c2 − 2c3 + 2c4
Al igualar las componentes correspondientes se llega al siguiente sistema de ecuaciones
lineales,
= 0
c1 + c2
c2 + 3c3 + c4
= 0
−c
+
c
−
c
=
0
1
3
4
2c2 − 2c3 + 2c4 = 0.
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que el sistema posee solución c1 = 0,
c2 = 0 y c3 = 0. Por lo tanto, S es un conjunto linealmente independiente.
Definición 3.6 Sean (V, F, +, ·) un espacio vectorial y S = {u1 , u2 , · · · , uk } un subconjunto no vacío de V . Diremos que S forma una base de V si satisface las siguientes
condiciones,
1. S es linealmente independiente,
2. gen(S)=V.
Esta definición establece que una base posee dos características. Una base S debe tener
suficientes vectores para generar al espacio vectorial V , pero no tantos de modo que
uno de ellos pueda escribirse como combinación lineal de los demás vectores en S.