1.1. Números complejos (C)
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Proposición 1.1 El conjunto de los números complejos no es ordenado.
Prueba (por reducción al absurdo).
Supongamos que el conjunto de los números complejos C es ordenado. Como i =
√
−1 6= 0, entonces i > 0 ó i < 0.
Si i > 0, se tiene que i · i > 0, ya que C es ordenado. Pero i · i = i2 = −1, esto es,
−1 > 0. Contradicción pues −1 < 0.
Si i < 0, se tiene que −i > 0 y (−i) · (−i) > 0, ya que C es ordenado. Pero (−i) · (−i) =
(−i)2 = −1, esto es, −1 > 0. Contradicción pues −1 < 0.
Dado que en ambos casos se llega a una contradicción al suponer que C es ordenado,
entonces el conjunto de los números complejos no es ordenado.
Teorema 1.1 Sean z, w ∈ C y α ∈ R. entonces;
1. z + w = z + w,
2. z = z,
3. αz = αz,
4. z · w = z · w.
Prueba.
Del teorema 1.1 se harán las pruebas de los impares, y los pares se dejan como actividad
para los estudiantes.
1. Sean z = a + bi, w = c + di ∈ C. Entonces,
z + w = (a + bi) + (c + di)
= (a + c) + (b + d)i
(por la definición 1.5)
= (a + c) − (b + d)i
(por la definición 1.3)
= z + w.
(por la definición 1.3)
= (a − bi) + (c − di) (por Propiedades)
Por lo tanto,
z + w = z + w.