1. Matrices
6
Definición 1.6 Sean z = a + bi, w = c + di ∈ C. Se define la multiplicación de z
por w, denotado por z · w, mediante
z · w = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Ejemplo 1.4
a) Consideremos los complejos z = 3 + 2i y w = 5 + 7i. Entonces,
z · w = (3 + 2i)(5 + 7i) = 15 + 21i + 10i − 14 = 1 + 31i.
1
4
b) Consideremos los complejos z = − − 3i y w = − + 7i. Entonces,
3
3
4
4 7
12
193 5
1
− + 7i = − i + i + 21 =
+ i.
z · w = − − 3i
3
3
9 3
3
9
3
Obsevación 1.2
Sea z = a + bi ∈ C. Entonces z · z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 = |z|2 , es decir, un
número por su conjugado nos da, el cuadrado de su módulo.
Definición 1.7 Sean z y w ∈ C.
1
mediante
w
1
1
w
w
w
=
=
=
w
w
w
w·w
|w|2
a) Sea w 6= 0. Se define
.
b) si z = a + bi, w = c + di ∈ C y w 6= 0, entones
z
1
z·w
(a + bi)(c − di)
w
=z· =z·
=
=
.
2
2
w
w
|w|
|w|
c2 + d2
Ejemplo 1.5
a) Consideremos los complejos z = 2 + 4i y w = −3 − 5i. Entonces,
2 + 4i
(2 + 4i)(−3 + 5i)
−6 + 10i − 12i − 20
26
2i
13
i
z
=
=
=
=− −
=− − .
w
−3 − 5i
(−3)2 + (−5)2
9 + 25
34 34
17 17