3. Espacios vectoriales
140
Proceso de búsqueda,
(x, y) = c1 · (1, 2) + c2 · (2, 0)
= (c1 , 2c1 ) + (2c2 , 0)
= (c1 + 2c2 , 2c1 ).
Al igualar las componentes correspondientes se llega al siguiente sistema de ecuaciones
lineales,
c1 + 2c2 = x
2c1
= y.
x y
y
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que c1 = y c2 = − .
2
2 4
Por lo tanto,
o
x y
ny
· (2, 0) : x, y ∈ R = {(x, y) : x, y ∈ R} = R2 .
· (1, 2) +
−
gen(S) =
2
2 4
3.3.
Independencia lineal y base
Después de espacios generados, el siguiente concepto es de gran importancia en los
espacios vectoriales, donde involucran combinaciones lineales y el vector nulo.
Definición 3.5 Sean (V, F, +, ·) un espacio vectorial y S = {u1 , u2 , · · · , uk } un subconjunto de V . Diremos que S en linealmente dependiente si existen escalares
c1 , c2 , · · · , ck ∈ F no todos nulos tal que,
c1 · u1 + c2 · u2 + ck · uk = 0.
En el caso que S no es linealmente dependiente, entonces diremos que S es linealmente
independiente.
Ejemplo 3.10
a) Consideremos el espacio vectorial (R2 , R, +, ·) y S = {(1, 0), (0, 1), (−2, 5)}. ¿Será
S un conjunto linealmente dependiente?
Solución. Para que S sea un conjunto linealmente dependiente debe existir escalares
c1 , c2 , c3 ∈ R no todos nulos tal que,
c1 · (1, 0) + c2 · (0, 1) + c3 · (−2, 5) = (0, 0).