3.2. Subespacios generados
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Al igualar las componentes correspondientes se llega al siguiente sistema de ecuaciones
lineales
= x
c1 − c3
= y
2c1 + c2
3c1 + 2c2 + c3 = z.
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que en general el sistema no tiene
solución. Por lo tanto el conjunto S2 no genera a R3 .
Obsevación 3.1 En el ejemplo 3.9(a) el conjunto S1 genera a R3 , en tanto S2 no
genera a R3 . Sin embargo S2 genera un subespacio de R3 (probar). Este subespacio
se denomina espacio lineal generado por S2 , en general, el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de un conjunto S se denomina espacio generado
por S y se denota por gen(S).
Teorema 3.2 Sean (V, F, +, ·) un espacio vectorial y S = {u1 , u2 , · · · , uk } un subconjunto de V . Entonces gen(S) es un subespacio de V .
Prueba. Sean s1 , s2 ∈ S y α ∈ F. Queremos probar que, s1 + s2 ∈ gen(S) y α · s1 ∈
gen(S).
Como s1 , s2 ∈ S. Entonces existen escalares α1 , α2 , · · · , αk ∈ F y β1 , β2 , · · · , βk ∈ F
k
k
X
X
(βi · ui ). Luego,
(αi · ui ) y s2 =
tal que s1 =
i=1
i=1
s1 + s2 =
k
k
k
k
X
X
X
X
(αi + βi )ui .
(αi · ui + βi · ui ) =
(βi · ui ) =
(αi · ui ) +
i=1
i=1
i=1
i=1
Por lo tanto, s1 + s2 ∈ gen(S). Por otro lado,
k
k
k
X
X
X
(ααi )ui .
α(αi · ui ) =
(αi · ui ) =
α · s1 = α ·
i=1
i=1
i=1
Así α · s1 ∈ S, esto quiere decir que gen(S) es un subespacio de V .
Ejemplo 3.9
Consideremos el espacio vectorial (R2 , R, +, ·) y el subconjunto S = {(1, 2), (2, 0)}.
¿gen(S) = R2 ?
Solución. Sea (x, y) ∈ R2 . Queremos encontrar escalares c1 , c2 ∈ R tal que
(x, y) = c1 · (1, 2) + c2 · (2, 0).