Álgebra Lineal | Page 146

3. Espacios vectoriales

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Ejemplo 3.8
a) Consideremos el espacio vectorial (R3 , R, +, ·) y el subconjunto
S1 = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−2, 0, 1)} de R3 . ¿S1 genera a R3 ?

Solución. Sea (x, y, z) ∈ R3 . Queremos encontrar escalares c1 , c2 , c3 ∈ R tal que
(x, y, z) = c1 · (1, 2, 3) + c2 · (0, 1, 2) + c3 · (−2, 0, 1).

Proceso de búsqueda,
(x, y, z) = c1 · (1, 2, 3) + c2 · (0, 1, 2) + c3 · (−2, 0, 1)
= (c1 , 2c1 , 3c1 ) + (0, c2 , 2c2 ) + (−2c3 , 0, c3 )
= (c1 − 2c3 , 2c1 + c2 , 3c1 + 2c2 + c3 ).

Al igualar las componentes correspondientes se llega al siguiente sistema de ecuaciones
lineales

= x
 c1 − 2c3
2c + c2
= y
 1
3c1 + 2c2 + c3 = z.
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que

c1 = 2y − z, c2 = −3y + 2z y c3 = y −

x z
− .
2 2

Por lo tanto,
(x, y, z) = c1 · (1, −1, 0) + c2 · (−1, −2, 1) + c3 · (5, 3, −2).
Así, el conjunto S1 genera a R3 .
b) Consideremos el espacio vectorial (R3 , R, +, ·) y el subconjunto
S2 = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 0, 1)} de R3 . ¿El conjunto S2 genera a R3 ?

Solución. Para que S2 genere a R3 necesariamente cada vector (x, y, z) ∈ R3 se
puede expresar como combinación lineal de los elementos de S2 . Es decir, deben existir
escalares c1 , c2 , c3 ∈ R tal que
(x, y, z) = c1 · (1, 2, 3) + c2 · (0, 1, 2) + c3 · (−1, 0, 1).
Proceso de búsqueda,
(x, y, z) = c1 · (1, 2, 3) + c2 · (0, 1, 2) + c3 · (−1, 0, 1)
= (c1 , 2c1 , 3c1 ) + (0, c2 , 2c2 ) + (−c3 , 0, c3 )
= (c1 − c3 , 2c1 + c2 , 3c1 + 2c2 + c3 ).