3.2. Subespacios generados
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Ejemplo 3.7
Consideremos el espacio vectorial (R3 , R, +, ·) y el subconjunto
S = {(1, −1, 0), (−1, −2, 1), (5, 3, −2)}
de R3 . Expresar el vector u = (−2, −1, 1) como combinación lineal (si es posible) de
los elementos de S.
Solución. Note que para expresar el vector u como combinación lineal de
(1, −1, 0), (−1, −2, 1) y (5, 3, −2) es necesario encontrar escalares c1 , c2 , c3 ∈ R tal que,
(0, −1, 1) = c1 · (1, −1, 0) + c2 · (−1, −2, 1) + c3 · (5, 3, −2)
= (c1 , −c1 , 0) + (−c2 , −2c2 , c2 ) + (5c3 , 3c3 , −2c3 )
= (c1 − c2 + 5c3 , −c1 − 2c2 + 3c3 , c2 − 2c3 ).
Al igualar las componentes correspondientes se llega al siguiente sistema de ecuaciones
lineales,
=
0
c1 − c2 + 5c3
−c1 − 2c2 + 3c3 = −1
c2 − 2c3
= 1.
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que
c1 = −2, c2 = 3 y c3 = 1.
Por lo tanto, u = −2 · (1, −1, 0) + 3 · (−1, −2, 1) + 1 · (5, 3, −2).
3.2.
Subespacios generados
Se destaca a continuación que si cada vecto r de un espacio vectorial V se puede escribir
como combinación lineal de los vectores de un subconjunto S de V . Entonces, se dice
que S es un conjunto generador del espacio vectorial V .
Definición 3.4 Sean (V, F, +, ·) un espacio vectorial y S = {u1 , u2 , · · · , uk } un subconjunto de V . Diremos que S es un conjunto generador de V si todo vector de V
puede expresarse como combinación lineal de vectores en S. En este caso diremos que
S genera a V .