3. Espacios vectoriales
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Así, A + B ∈ S.
Por otro lado,
α · A = α · A⊤
(por hipótesis)
= (α · A)⊤ . (por el teorema 1.8(3))
Por lo tanto, α · A ∈ S. En conclusión S es un subespacio de V .
Definición 3.3 Sean (V, F, +, ·) un espacio vectorial y u ∈ V . Diremos que u es
combinación lineal de los vectores u1 , u2 , · · · , uk ∈ V , si u se puede expresar como
u = c1 · u1 + c2 · u2 + · · · + ck · uk =
k
X
i=1
(ci · ui ),
donde c1 , c2 , · · · , ck ∈ F.
A menudo, uno o más vectores de un conjunto dado puede expresarse como combinaciones lineales de otros vectores en el conjunto. Esta posibilidad se ilustra con los
siguientes ejemplos.
Ejemplo 3.6
a) Consideremos el espacio vectorial (R3 , R, +, ·) y los vectores u1 = (1, 3, 1), u2 =
(0, 1, 2), u3 = (1, 0, −5) ∈ R3 . ¿Será u1 combinación lineal de u2 y u3 ?
Solución. Note que u1 es combinación lineal de los vectores u2 y u3 , ya que u1 se
puede expresar como,
u1 = 3 · (0, 1, 2) + 1 · (1, 0, −5) = 3 · u2 + 1 · u2 .
i −1
b) Consideremos el espacio vectorial (M2 (F), F, +, ·) y los elementos A =
,B =
1
0
0
1
2i 1
−5i
0
,C =
,D =
∈ M2 (F). ¿Será D combinación li2 −1
0 1
1 −3
neal de A, B y C?
Solución. Note que D es combinación lineal de A, B, C. Ya que,
i −1
0
1
2i 1
D = −1 ·
+1·
−2·
= −1 · A + 1 · B − 2 · C.
1
0
2 −1
0 1
En el ejemplo 3.6 fue fácil verificar que uno de los elementos del espacio vectorial
era una combinación lineal de los otros vectores dados, porque se contaba con los
coeficientes adecuados para formar la combinación lineal. En el siguiente ejemplo se
muestra un procedimiento para determinar los coeficientes.