3.1. Subespacios
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Esta circunstancia obliga a conocer las condiciones que ha de cumplir un subconjunto
de un espacio vectorial para mantener la misma estructura. Se trata de estudiar los
subespacios vectoriales.
Definición 3.2 Sean (V, F, +, ·) un espacio vectorial y S un subconjunto no vacío de
V . Diremos que S es un subespacio de V si satisface las siguientes condiciones,
1. s1 + s2 ∈ S para todo s1 , s2 ∈ S;
2. α · s1 ∈ S para todo s1 ∈ S y α ∈ F.
Ejemplo 3.5
a) Consideremos el espacio vectorial (R3 , R, +, ·) y el subconjunto
S = {(x, 0, y) : x, y ∈ R}
de R3 . Probar que S es un subespacio de R3 .
Solución. Sean s1 = (x1 , 0, y1 ), s2 = (x2 , 0, y2 ) ∈ R3 y α ∈ R. Veamos que s1 + s2 ∈ S
y α · s1 ∈ S.
Como s1 + s2 = (x1 , 0, y1 ) + (x2 , 0, y2 ) = (x1 + x2 , 0 + 0, y1 + y2 ) = (x1 + x2 , 0, y1 + y2 ).
Se tiene que s1 + s2 ∈ S, ya que x1 + x2 ∈ R e y1 + y2 ∈ R.
Por otro lado, α · s1 = α · (x1 , 0, y1 ) = (αx1 , α0, αy1 ) = (αx1 , 0, αy1 ). Se tiene que
α · s1 ∈ S, ya que αx1 ∈ R e αy1 ∈ R. En conclusión, S es un subespacio de V .
b) Sean (V, F, +, ·) un espacio vectorial y S un subespacio de V . Entonces el vector
0 ∈ S.
Solución. Sean (V, F, +, ·) un espacio vectorial y S un subespacio de V . Entonces por
la definición 3.2 (2), α · s1 ∈ S para todo s1 ∈ S y α ∈ F. Como 0 ∈ F se tiene que,
en particular 0 · s1 ∈ S. Luego por el teorema 3.1 (1), tenemos que 0 · s1 = 0. Por lo
tanto 0 ∈ S.
c) Consideremos el espacio vectorial (M2 (F), F, +, ·) y el subconjunto
S = {A ∈ M2 (F) : A = A⊤ }.
Probar que S es un subespacio de M2 (F).
Solución. Sean A, B ∈ S y α ∈ F. Entonces A = A⊤ y B = B ⊤ . Veamos que
A + B ∈ S y α · A ∈ S.
Como,
A + B = A⊤ + B ⊤
(por hipótesis)
= (A + B)⊤ . (por el teorema 1.8(2))