134 3. Espacios vectoriales
Por lo tanto, 0 · v = 0.
3. Supongamos que α ≠ 0. Entonces existe α −1 tal que α −1 · α = 1. Luego, α · v = 0( por hipótesis)
Ejemplo 3.4 α −1( α · v) = α −1 · 0
( α −1 α) v = α −1 · 0( por la definición 3.1( 7)) 1 · v = α −1 · 0 v = α −1 · 0( por la definición 3.1( 10)) v = 0.( por el teorema 3.1( 2))
Los siguientes ejemplos no forman espacios vectoriales. a)( Z, R, +,·) no es un espacio vectorial.
Solución. Basta que no se cumpla una de las 10 condiciones expuestas en la definición 3.1 para demostrar que un conjunto no es un espacio vectorial.
Tomemos α = 1 2 ∈ F y u = 1 ∈ Z. Entonces αu = 1 2 · 1 = 1 2.
Note que 1 no pertenece a Z, esto quiere decir que la condición( 6) de la definición
2 3.1 no se cumple. Por lo tanto( Z, R,+,·) no es un espacio vectorial.
b) Consideremos el conjunto F [ x ] = { p( x): grad( p( x)) = 2 }. Entonces( F [ x ], F,+,·) no es un espacio vectorial.
Solución. Tomemos p( x) = x 2 y q( x) = −x 2 + x + 2 elementos de F [ x ], se tiene que p( x)+ q( x) = x + 2.
Note que grad( p( x)+ q( x)) = 1, esto quieres decir que el polinomio p( x)+ q( x) = x + 2 no pertenece al conjunto F [ x ]. Así, la condición( 1) de la definición 3.1 no se cumple, por lo tanto( F [ x ], F,+,·) no es un espacio vectorial.
3.1. Subespacios
Por el ejemplo 3.2 hemos podido comprobar que el conjunto de los polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual que dos tiene estructura de espacio vectorial( F 2 [ x ], F,+,·), y sin embargo por el ejemplo 3.4( b) los de grado exactamente igual a dos no la tienen. Obsérvese que los polinomios de grado igual a dos son un subconjunto de los polinomios de grado menor o igual que tres. Así pues de este hecho podemos extraer una conclusión clara que no todo subconjunto de un espacio vectorial tiene a su vez estructura de espacio vectorial.