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Note que 0 =
2
X
(0)xk es el polinomio nulo del conjunto F2 [x] y el opuesto aditivo
k=0
para un polinomio p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 viene dado por −p(x) = −a0 − a1 x − a2 x2 .
Se deja como actividad para el lector verificar que F2 [x] bajos las operaciones definidas
es un espacio vectorial.
Ejemplo 3.3 Sea X un conjunto no vacío y consideremos el conjunto
Γ(X, F) = {f : X → F tal que f es función}. Sean f, g ∈ Γ(X, F) y α ∈ F, se definen
las operaciones:
1. (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ X;
2. (α · f )(x) = α(f (x)), ∀x ∈ X.
Note que el elemento nulo de Γ(X, F) es la función cuyas imágenes son todas 0, es
decir, 0 : X → F tal que 0(x) = 0, ∀x ∈ X y el opuesto aditivo para una función
f ∈ Γ(X, F) viene dado por −f ∈ Γ(X, F).
Se deja como actividad para el lector verificar que Γ(X, F) bajos las operaciones definidas es un espacio vectorial.
Hasta el momento hemos visto la estructura de espacios vectoriales que es propia de
los vectores y es aplicable a matrices, a los polinomios y a las funciones y permite
identificar matrices como vectores.
Teorema 3.1 Sean (V, F, +, ·) un espacio vectorial, v ∈ V y α ∈ F. Entonces,
1. 0 · v = 0,
2. α · 0 = 0,
3. Si α · v = 0 entonces α = 0 o v = 0,
4. (−1)v = −v.
Prueba.
Del teorema 3.1 se harán las pruebas de los impares y los pares se dejan como actividad
para los estudiantes.
1. Como 0 = 0 + 0. Entonces,
0 · v = (0 + 0) · v
0·v
0 · v + (−0 · v)
0 · v + (−0 · v)
0
0
=
=
=
=
=
0·v+0·v
(0 · v + 0 · v) + (−0 · v)
0 · v + (0 · v + (−0 · v))
0·v+0
0 · v.
(por la definición 3.1(9))
(por la definición 3.1(3))
(por la definición 3.1(5))
(por la definición 3.1(4))