3. Espacios vectoriales
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Definición 3.1 Sea V un conjunto no vacío de vectores, diremos que V es un espacio vectorial sobre F junto con dos operaciones (suma vectorial y la multiplicación
escalar), denotado por (V, F, +, ·), si satisface las siguientes condiciones;
1. u + w ∈ V para todo u, w ∈ V ,
2. u + w = w + u para todo u, w ∈ V ,
3. (u + w) + z = u + (w + z) para todo u, w ∈ V ,
4. Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u para todo u ∈ V ,
5. Para cada u ∈ V existe z ∈ V tal que u + z = 0,
6. α · u ∈ V para todo α ∈ F y u ∈ V ,
7. α(β · u) = (αβ)u para todo α, β ∈ F y u ∈ V ,
8. α(u + w) = α · u + α · w para todo α ∈ F y u, w ∈ V ,
9. (α + β)u = α · u + β · u para todo α, β ∈ F y u ∈ V ,
10. 1 · u = u para todo u ∈ V .
Es importante observar que un espacio vectorial consta de cuatro entes; un conjunto
de vectores, un conjunto de escalares y dos operaciones. Cuando se refiera a un espacio
vectorial V , asegúrese de que los cuatro entes estén claramente determinados.
Ejemplo 3.1
1.
2.
3.
4.
Por
Por
Por
Por
el
el
el
el
teorema
teorema
teorema
teorema
2.1 tenemos que (R2 , R, +, ·) es un espacio vectorial.
2.2 se tiene que (R3 , R, +, ·) es un espacio vectorial.
2.11 tenemos que (Rn , R, +, ·) es un espacio vectorial.
1.2 se tiene que (Mm×n (F), F, +, ·) es un espacio vectorial.
Ejemplo 3.2 Consideremos el conjunto de todos los polinomios de grado menor o
igual que 2 con coeficientes en F denotado por F2 [x] = {p(x) : grad(p(x)) ≤ 2}. Sean
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 , q(x) = b0 + b1 x + b2x2 ∈ F2 [x] y α ∈ F, se definen las
operaciones
1. p(x) + q(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2
)x2
2
X
=
(ak + bk )xk ,
k=0
2. α · p(x) = αa0 + αa1 x + αa2
x2
=
2
X
k=0
(αak )xk .