2.8. Norma y producto punto euclidiano en Cn
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Ejemplo 2.36
Sean u = −3i, −i, 2, 12 y w = (−2, i, −4i, 2i) vectores de R4 . Determinar ≺ u, w ≻.
Solución. Por la definición 2.20, se tiene que
1
≺ u, w ≻ = (−3i)(−2) + (−i)(i) + (2)(−4i) +
(2i)
2
1
= (−3i)(−2) + (−i)(−i) + 2(4i) + (−2i)
2
= 6i − 1 + 8i − i
= 13i − 1.
Por lo tanto, ≺ u, w ≻= 13i − 1.
Teorema 2.15 Sean x, y vectores en Cn y α ∈ C. Entonces,
1. ≺ x, y ≻= ≺ y, x ≻,
2. ≺ α · x, y ≻= α(≺ x, y ≻),
3. ≺ x, α · y ≻= α(≺ x, y ≻).
Prueba.
1. Sean y = (u1 , u2 , . . . , un ), x = (w1 , w2 , . . . , wn ) vectores en Cn .
Por la definición 2.20, tenemos que
≺ y, x ≻ = u1 w1 + u2 w2 + . . . + un wn
= u1 w1 + u2 w2 + . . . + un wn (Por el teorema 1.1)
= u1 w1 + u2 w2 + . . . + un wn (Por el teorema 1.1)
= w1 u1 + w2 u2 + . . . + wn un (Por propiedades en F)
(Por la definición 2.20)
= ≺ x, y ≻ .
Entonces, ≺ y, x ≻ =≺ x, y ≻ .
3. Sean x, y vectores en Cn y α ∈ C. Entonces,
≺ x, α · y ≻ = ≺ α · y, x ≻
(Por el teorema 2.15(1))
= α(≺ y, x ≻)
(Por el teorema 2.15(2))
= α(≺ y, x ≻)
(Por el teorema 2.15(1))
= α(≺ x, y ≻). (Por el teorema 2.15(1))
Así, ≺ x, α · y ≻= α(≺ x, y ≻).