Álgebra Lineal | Page 132

2. Vectores en Fn con n = 1, 2, 3, · · ·

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2.8.

Norma y producto punto euclidiano en Cn

Definición 2.18 Sea x = (x1 , x2 , . . . , xn ) un vector en Cn . Se define la norma euclidiana de x, denotado por kxk, mediante
√
kxk = x1 x1 + x2 x2 + . . . + xn xn .
Ejemplo 2.34
Sea x = (i, −3i, −i,

√

2i) un vectores en R4 . Determinar kxk.

Solución. Por la definición 2.18, se tiene que
q
√ √
kxk =
i(i) + (−3i)(−3i) + (−i)(−i) + 2i( 2i)
q
√
√
=
i(−i) + (−3i)(3i) + (−i)(i) + 2i(− 2i)
√
=
1+9+1+2
√
=
13.
√
Por lo tanto, kxk = 13.
Definición 2.19 Sean P1 = (x1 , x2 , . . . , xn ), P2 = (y1 , y2 , . . . , yn ) vectores en Cn . Se
define la distancia entre P1 y P2 , denotado por d(P1 , P2 ), mediante
d(P1 , P2 ) = kP1 − P2 k
q
(y1 − x1 )(y1 − x1 ) + (y2 − x2 )(y2 − x2 ) + . . . + (yn − xn )(yn − xn ).
=

Ejemplo 2.35

Sean u = (−i, −1, −1) y w = (−i, 5, −2) vectores de C3 . Determinar d(u, w).

Solución. Por la definición 2.19, se tiene que
d(u, w) =
=
Así, d(u, w) =

q
√

(−i + i)(−i + i) + (5 + 1)(5 + 1) + (−2 + 1)(−2 + 1)

37.

√
37.

Definición 2.20 Sean u = (u1 , u2 , . . . , un ) y w = (w1 , w2 , . . . , wn ) dos vectores en
Cn . Se define el producto punto euclidiano de u y w, denotado por ≺ u, w ≻,
mediante:
≺ u, w ≻= u1 w1 + u2 w2 + . . . + un wn .