2.6. Norma y producto punto euclidiano en Rn
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Teorema 2.14 Sean u, w vectores en Rn . Entonces,
1. | ≺ u, w ≻ | ≤ kukkwk, (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)
2. ku + wk ≤ kuk + kwk, (Desigualdad triangular)
3. Si u y w son ortogonales, entonces ku + wk2 = kuk2 + kwk2 .
Prueba.
Para demostrar el teorema 2.14 se pue de aplicar el mismo razonamiento que se uso
para probar el teorema 2.5. Por lo cual se deja como ejercicio.
Ejemplo 2.30
Verificar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para u = (−5, 2, 0, −4) y w = (4, −3, −2, 5).
Solución. Como ≺ u, w ≻= −20 − 6 − 20 = −46, ≺ u, u ≻= 25 + 4 + 16 = 45 y
≺ w, w ≻= 16 + 9 + 4 + 25 = 54. Entonces,
kukkwk =
√
| ≺ u, w ≻ | = | − 46| = 46 y
√ √
√
√
≺ u, u ≻ ≺ w, w ≻ = 45 54 = 2430.
Por lo tanto, | ≺ u, w ≻ | ≤ kukkwk.
Definición 2.15 El ángulo θ entre dos vectores u y w diferentes de cero en Rn está
definido por,
≺ u, w ≻
, 0 ≤ θ ≤ π.
cos(θ) =
kukkwk
Ejemplo 2.31
Sean u = (−4, 0, 2, −2) y w = (2, 0, −1, 1) vectores de R4 . Determinar el ángulo θ entre
los vectores u y w.
Solución. Por el definición 2.15, se tiene que
≺ u, w ≻
cos(θ) =
kukkwk
−8 − 2 − 2
√
= √
16 + 4 + 4 4 + 1 + 1
−12
= √ √
24 6
−12
= √
144
= −1.
Por lo tanto, cos(θ) = −1. Es decir,
θ = π.