2.6. Norma y producto punto euclidiano en Rn
Por lo tanto, d(u, w) =
119
√
83.
Definición 2.13 Sean u = (u1 , u2 , . . . , un ) y w = (w1 , w2 , . . . , wn ) dos vectores diferentes de cero. Se define el producto punto euclidiano de u y w, denotado por
≺ u, w ≻, mediante
≺ u, w ≻= u1 w1 + u2 w2 + . . . + un wn .
Ejemplo 2.27
√ 1
√
√
√
Sean u = − 3, −6, 2,
y w = (−2 3, 5, −4 2, −2) vectores de R4 . Determinar
2
≺ u, w ≻.
Solución. Por la definición 2.13, se tiene que
√
√
√
√
1
≺ u, w ≻ = (− 3)(−2 3) + (−6)(5) + ( 2)(−4 2) +
(−2)
2
= 6 − 30 − 8 − 1
= −33.
Por lo tanto, ≺ u, w ≻= −33.
Teorema 2.13 Sean x, y, z vectores en Rn y α ∈ R. Entonces,
1. ≺ x, y ≻=≺ y, x ≻,
2. ≺ (x + y), z ≻=≺ x, z ≻ + ≺ y, z ≻,
3. α(≺ x, y ≻) =≺ (α · x), y ≻=≺ x, (α · y) ≻,
4. ≺ x, x ≻= kxk2 ,
5. ≺ x, x ≻≥ 0. Además, ≺ x, x ≻= 0 si, y sólo si, x = 0.
Prueba.
Para demostrar el teorema 2.13 se puede aplicar el mismo razonamiento que se uso
para probar el teorema 2.4. Por lo cual se deja como ejercicio.