2. Vectores en Fn con n = 1, 2, 3, · · ·
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3. Sean u y w vectores de Rn . Diremos que los vectores u y w son paralelos,
denotado por u//w, si existe un escalar k ∈ R tal que u = k · w.
Teorema 2.12 Sean u un vector en Rn y α ∈ R. Entonces
kα · uk = |α|kuk.
Prueba.
Para demostrar el teorema 2.12 se puede aplicar el mismo razonamiento que se uso
para probar el teorema 2.3. Por lo cual se deja como ejercicio.
Ejemplo 2.25
Sea u = (4, −3, 3,
√
2) un vectores en R4 y α =
√
2. Verificar que,
kα · uk = |α|kuk.
Solución. Por la definición 2.11, se tiene que
√
√
kα · uk = k 2 · (4, −3, 3, 2)k
√ √
√
= k(4 2, −3 2, 3 2, 2)k
q √
√
√
=
(4 2)2 + (−3 2)2 + (3 2)2 + (2)2 .
√
32 + 18 + 18 + 4.
=
√
√
72 = 6 2.
=
√
Por lo tanto, kα · uk = 6 2.
√
Luego, por el ejemplo 2.24, se tiene que kuk = 6. Así, |α|kuk = 6 2.
Por lo tanto, kα · uk = |α|kuk.
Definición 2.12 Sean P1 = (x1 , x2 , . . . , xn ), P2 = (y1 , y2 , . . . , yn ) vectores en Rn . Se
define la distancia entre P1 y P2 , denotado por d(P1 , P2 ), mediante
p
d(P1 , P2 ) = kP1 − P2 k = (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 + . . . + (yn − xn )2 .
Ejemplo 2.26
√
√
Sean u = (−4, −3, 2 2, −1) y w = (−8, 5, 2, −2) vectores de R4 . Determinar d(u, w).
Solución. Por la definición 2.12, se tiene que
q
√
√
d(u, w) =
(−4 + 8)2 + (−3 − 5)2 + (2 2 − 2)2 + (−1 + 2)2
√
=
16 + 64 + 2 + 1
√
83.
=