116 2. Vectores en F n con n = 1,2,3,···
Por lo tanto, x−5 · y =
() 22, 39, −7, 3, −22. 5
Teorema 2.11 Sean x, y, z vectores en R n y α, β ∈ R. Entonces, 1. x + y es un vector de R n, 2. x + y = y + x, 3.( x + y)+ z = x +( y + z), 4. x + 0 = x, 5. x−x = 0, 6. α · x es un vector de R n, 7. α( β · x) =( αβ)· x, 8. α( x + y) = α · x + α · y, 9.( α + β)· x = α · x + β · x, 10. 1 · x = x.
Prueba. Para demostrar el teorema 2.11 se puede aplicar el mismo razonamiento que se uso para probar el teorema 2.1 y 2.2. Por lo cual se deja como ejercicio.
Es importante destacar que, con las 12 propiedades dadas en el teorema 2.11 se pueden realizar manipulaciones algebraicas con vectores en R n casi de la misma manera en que se hace con números reales.
Ejemplo 2.23 Sean u =( −2,3, −1,0), v =( 4, −5, −2,5) y w =( −1,2, −7,2) vectores de R 4. Encuentre el valor de x en las expresiones siguientes.
a) x−u = 2 · w −v. Solución. Por el teorema 2.11, se tiene que
x−u = 2 · w−v x = 2 · w−v + u = 2 ·( −1,2, −7,2) −( 4, −5, −2,5) +( −2,3, −1,0) =( −2,4, −14,4) +( −4,5,2, −5) +( −2,3, −1,0) =( −6,9, −12, −1) +( −2,3, −1,0) =( −8,12, −13, −1).