2. Vectores en Fn con n = 1, 2, 3, · · ·
114
Por lo tanto, kproyv×w uk =
|≺ u, v × w ≻|
.
kv × wk
Así, el volumen V del paralelepípedo es
V = (readelabase)(altura) = (kv × wk)
|≺ u, v × w ≻|
kv × wk
= |≺ u, v × w ≻| .
Ejemplo 2.21 Encontrar el volumen del paralelepípedo cuyos lados son u = (2, −6, 2),
v = (0, 4, −2) y w = (2, 2, −4).
Solución. Por el teorema 2.10, se tiene que el volumen del paralelepípedo es:
V = |≺ u, v × w ≻| .
Note que,
4 −2
0 −2
0 4
·k
· j+
·i−
v×w =
2 −4
2 2
2 −4
= −12 · i − 4 · j − 8 · k.
Entonces,
|≺ u, v × w ≻| = |2(−12) + (−6)(−4) + 2(−8)|
= |−24 + 24 − 16|
= 16.
Así, V = 16 .
2.5.
Vectores en Rn
Usando como modelo los vectores en el plano, a continuación se extiende el análisis en
el espacio n- dimensional. La notación que se utiliza cambia del par ordenado (x1 , x2 )
a una n-ada ordenada. Por ejemplo, una tercia ordenada es de la forma (x1 , x2 , x3 ),
una cuádruple ordenada tiene la forma (x1 , x2 , x3 , x4 ) y una n−ada ordenada general
es de la forma (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ). El conjunto de todas las n−adas se denomina espacio
n−dimensional y se denota por Rn .
Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 , x2 , . . . , xn ∈ R}.
Definición 2.10 Sean u = (u1 , u2 , . . . , un ), w = (w1 , w2 , . . . , wn ) vectores de Rn y
α ∈ R. Entonces,