2.4. Producto vectorial
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Ejemplo 2.20 Encontrar el área del paralelogramo determinado por los vectores u =
(3, −1) y w = (−2, 4).
Solución. Por la observación 2.12, se tiene que el área del paralelogramo se define por:
A = ku × wk.
En donde, u = (3, −1, 0) y w = (−2, 4, 0). Luego, por la definición 2.9,
−1 0
· i − 3 0 · j + 3 −1 · k
ku × wk =
4 0
−2 0
−2 4
= k0 · i + 0 · j + 10 · kk
= 10.
Por lo tanto, A = ku × wk = 10 .
Teorema 2.10 Sean u, v y w vectores en R3 . Entonces | ≺ u, (v × w) ≻ | es igual al
volumen del paralelepípedo determinado por u, v y w.
Prueba. Sean u, v y w vectores en R3 . Consideremos la base del paralelepípedo dado
por el paralelogramo determinado por v y w distintos de cero (figura 2.34). Por el
teorema 2.9, se tiene que el área de la base el A = kv × wk.
Además, la altura h del paralelepípedo es la longitud de la proyección ortogonal de u
sobre v × w, es decir, h = kproyv×w uk.
w
v
u
v×w
Figura 2.34:
|
h
|
Interpretación gráfica del volumen del paralelepípedo
≺ u, v × w ≻
kproyv×w uk =
· v × w
(Por el teorema 2.6(1))
2
kv × wk
≺ u, v × w ≻
kv × wk (Por el teorema 2.3)
=
kv × wk2
=
=
|≺ u, v × w ≻|
kv × wk
kv × wk2
|≺ u, v × w ≻|
.
kv × wk
(Por propiedades en R)
(Por propiedades en R)