112 2. Vectores en F n con n = 1,2,3,···
Solución. La magnitud del vector de Torsión viene dado por
‖ τ ‖ = ‖ r × F ‖ = ‖ r ‖‖ F ‖| sen( θ)| =( 0,18)( 60)| sen( 70 ◦ + 10 ◦)| = 10,8 | sen( 80 ◦)| ≈ 10,6 J.
Ejemplo 2.19 Encontrar el área del triángulo determinado por los puntos p 1 =( 1,1,0), p 2 =( −2,1,3) y p 3 =( −3,3,4).
Solución. El área A del triángulo es 1 del área del paralelogramo determinado por los
2 vectores −−→ p 1 p 2 y −−→ p 1 p 3. Por la observación 2.4, se tiene que −−→ p 1 p 2 =( −3,0,3) = −3 · i + 3 · k
y −−→ p 1 p 3 =( −4,2,4) = −4 · i + 2 · j + 4 · k. Luego, por el teorema 2.9, tenemos que el área del paralelogramo es
‖ −−→ p 1 p 2 × −−→ p 1 p 3 ‖ = ∥∣ 0 3 2 4∣ · i− ∣ −3 3
−4 4∣ · j + ∣ −3 0
−4 2∣ · k ∥
= ‖ −6 · i−6 · k ‖ = 6 √ 2.
Por lo tanto, A = 1 2 ‖ −−→ p 1 p 2 × −−→ p 1 p 3 ‖ = 3 √ 2.
Obsevación 2.12 Para determinar el área del paralelogramo entre los vectores u =( u 1, u 2) y w =( w 1, w 2) de R 2 se consideran u y w vectores en el plano xy de un sistema coordenado xyz( figura 2.33), en cuyo caso estos vectores se expresan como u =( u 1, u 2, 0) y w =( w 1, w 2, 0). Luego, por el teorema 2.9, se tiene que el área del paralelogramo es A = ‖ u × w ‖. z y w w y u x x u
Figura 2.33: Interpretación gráfica del área del paralelogramo