2. Vectores en Fn con n = 1, 2, 3, · · ·
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Prueba. Sean u y w vectores en R3 . Entonces por el teorema 2.7(3), tenemos que
ku × wk2 = kuk2 kwk2 − (≺ u, w ≻)2 .
Además, si θ es el ángulo entre los vectores u y w entonces por la observación 2.7,
≺ u, w ≻= kukkwkcos(θ).
Luego,
ku × wk2 = kuk2 kwk2 − (kukkwkcos(θ))2
= kuk2 kwk2 − kuk2 kwk2 cos2 (θ)
= kuk2 kwk2 (1 − cos2 (θ))
= kuk2 kwk2 sen2 (θ).
Por lo tanto, ku × wk = kukkwk|sen(θ)|.
Pero kwk|sen(θ)| es la altura determinado por u y w (figura 2.29).
w
kwk
kwk|sen(θ)|
θ
kuk
Figura 2.29:
u
Interpretación gráfica del área del paralelogramo
Así, el área A de este paralelogramo está dada por
A = (base)(altura) = kukkwk|sen(θ)| = ku × wk.
Obsevación 2.11 La idea de un producto vectorial se produce a menudo en la Física.
En particular , consideremos una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido en un
punto dado por un vector de posición r. (Por ejemplo, si apretar un tornillo mediante
la aplicación de una fuerza a una llave como en la figura 2.30, se produce un giro).
Figura 2.30:
Representación gráfica de F sobre un cuerpo rígido
El vector de torsión τ (en relación con el origen) se define como el producto vectorial
de la posición y vectores de fuerza
τ = r × F.