2.4. Producto vectorial
109
Por otro lado,
u2 u3
u1 u3
u1 u2
· k
u×w =
·i−
·j+
w2 w3
w1 w3
w1 w2
= (u2 w3 − u3 w2 ) · i − (u1 w3 − u3 w1 ) · j + (u1 w2 − u2 w1 ) · k
v2 v3
v1 v3
v1 v2
· k
v×w =
·i−
·j+
w2 w3
w1 w3
w1 w2
= (v2 w3 − v3 w2 ) · i − (v1 w3 − v3 w1 ) · j + (v1 w2 − v2 w1 ) · k
(u × w) + (v × w) = (u2 w3 + v2 w3 − v3 w2 − u3 w2 ) · i − (u1 w3 + v1 w3 − v3 w1 − u3 w1 ) · j
= +(u1 w2 + v1 w2 − u2 w1 − v2 w1 ) · k.
Así,
(u + v) × w = (u × w) + (v × w).
5. Sean u = u1 · i + u2 · j + u3 · k un vector en R3 .
Por la definición 2.9, tenemos que
u1 u2
u1 u3
u2 u3
·i−
u × 0 =
0 0 ·j+ 0 0 · k
0 0
= 0·i−0·j+0· k
= 0·i+0·j+0· k
= 0.
Entonces,
0 0
0 0
0 0
· k
0×u =
·i−
·j+
u2 u3
u1 u3
u1 u2
= 0·i−0·j+0· k
= 0·i+0·j+0· k
= 0.
Por lo tanto,
u × 0 = 0 × u = 0.
Teorema 2.9 Sean u y w vectores en R3 . Entonces ku × wk es igual al área del
paralelogramo determinado por u y w.