108 2. Vectores en F n con n = 1,2,3,···
1. Sean u = u 1 · i + u 2 · j + u 3 · k, v = v 1 · i + v 2 · j + v 3 · k y w = w 1 · i + w 2 · j + w 3 · k vectores en R 3. Por la definición 2.9, tenemos que
u × w =
∣ u 2 u 3 w 2 w 3
∣ · i− ∣ u 1 u 3 w 1 w 3
∣ · j + ∣ u 1 u 2 w 1 w 2
∣ · k w × u =
∣ w 2 w 3 u 2 u 3
∣ · i− ∣ w 1 w 3 u 1 u 3
∣ · j + ∣ w 1 w 2 u 1 u 2
∣ · k
−( w × u) = −
∣ w 2 w 3 u 2 u 3
∣ · i + ∣ w 1 w 3 u 1 u 3
∣ · j− ∣ w 1 w 2 u 1 u 2
∣ · k
=
∣ u 2 u 3 w 2 w 3
∣ · i− ∣ u 1 u 3 w 1 w 3
∣ · j + ∣ u 1 u 2 w 1 w 2
∣ · k.
Por lo tanto, u × w = −( w × u).
3. Sean u = u 1 · i + u 2 · j + u 3 · k, v = v 1 · i + v 2 · j + v 3 · k y w = w 1 · i + w 2 · j + w 3 · k vectores en R 3.
Por definición, tenemos que
u + v =( u 1 + v 1) i +( u 2 + v 2) j +( u 3 + v 3) k
( u + v)× w = ∣ u 2 + v 2 u 3 + v 3 w 2 w 3
∣ · i− ∣ u 1 + v 1 u 3 + v 3 w 1 w 3
∣ · j
+ ∣ u 1 + v 1 u 2 + v 2 w 1 w 2
∣ · k
=(( u 2 + v 2) w 3 −( u 3 + v 3) w 2)· i −(( u 1 + v 1) w 3 −( u 3 + v 3) w 1)· j +(( u 1 + v 1) w 2 −( u 2 + v 2) w 1)· k
=( u 2 w 3 + v 2 w 3 −u 3 w 2 −v 3 w 2)· i −( u 1 w 3 + v 1 w 3 −u 3 w 1 −v 3 w 1)· j +( u 1 w 2 + v 1 w 2 −u 2 w 1 −v 2) w 1)· k.