2.4. Producto vectorial
107
Por otro lado,
≺ u, w ≻ ·v = (u1 w1 + u2 w2 + u3 w3 ) · v
= (u1 w1 v1 + u2 w2 v1 + u3 w3 v1 ) · i
+(u1 w1 v2 + u2 w2 v2 + u3 w3 v2 ) · j
+(u1 w1 v3 + u2 w2 v3 + u3 w3 v3 ) · k
≺ v, w ≻ ·u = (v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 ) · u
= (v1 w1 u1 + v2 w2 u1 + v3 w3 u1 ) · i
+(v1 w1 u2 + v2 w2 u2 + v3 w3 u2 ) · j
+(v1 w1 u3 + v2 w2 u3 + v3 w3 u3 ) · k
≺ u, w ≻ ·v− ≺ v, w ≻ ·u = [u3 w3 v1 − u1 w3 v3 − u1 w2 v2 + u2 w2 v1 ] · i
+[u1 w1 v2 − u2 w1 v1 − u2 w3 v3 + u3 w3 v1 ] · j
+[u2 w2 v2 − u3 w2 v3 − u3 w1 v1 + u1 w1 v3 ] · k.
Así,
(u × v) × w =≺ u, w ≻ ·v− ≺ v, w ≻ ·u.
Teorema 2.8 Sean u, v, w vectores en R3 y α ∈ R. Entonces,
1. u × w = −(w × u),
2. u × (v + w) = (u × v) + (u × w),
3. (u + v) × w = (u × w) + (v × w),
4. α(u × w) = (α · u) × w = u × (α · w),
5. u × 0 = 0 × u = 0,
6. u × u = 0.
Prueba.
Del teorema 2.8 se harán las pruebas de los impares y los pares se dejan como actividad
para los estudiantes.