Álgebra Lineal | Page 114

2. Vectores en Fn con n = 1, 2, 3, · · ·

106

Entonces,

kuk2 = u21 + u22 + u23 .

kwk2 = w12 + w22 + w32 .

kuk2 kwk2 = (u21 + u22 + u23 )(w12 + w22 + w32 )

= u21 w12 + u21 w22 + u21 w32 + u22 w12 + u22 w22 + u22 w32
+u23 w12 + u23 w22 + u23 w32 .

(≺ u, w ≻)2 = (u1 w1 + u2 w2 + u3 w3 )2

= u21 w12 + 2u1 u2 w2 w1 + u22 w22 + 2u1 u3 w3 w1
+2u2 u3 w3 u3 + u23 w32 .

kuk2 kwk2 − (≺ u, w ≻)2 = u22 w32 − 2u2 u3 w3 w2 + w22 u23 + u21 w32 − 2u1 u3 w3 w1
+w12 u23 + u21 w22 − 2u1 u2 w2 w1 + w12 u22 .

Así,
ku × wk2 = kuk2 kwk2 − (≺ u, w ≻)2 .

5. Sean u = u1 · i + u2 · j + u3 · k, v = v1 · i + v2 · j + v3 · k
y w = w1 · i + w2 · j + w3 · k vectores en R3 . Por la definición 2.9, tenemos que

u × v = (u2 v3 − u3 v2 ) · i + (u3 v1 − u1 v3 ) · j + (u1 v2 − u2 v1 ) · k
(u × v) × w = [(u3 v1 − u1 v3 )w3 − (u1 v2 − u2 v1 )w2 ] · i
+[(u1 v2 − u2 v1 )w1 − (u2 v3 − u3 v1 )w3 ] · j
+[(u2 v2 − u3 v3 )w2 − (u3 v1 − u1 v3 )w1 ] · k
= [u3 w3 v1 − u1 w3 v3 − u1 w2 v2 + u2 w2 v1 ] · i
+[u1 w1 v2 − u2 w1 v1 − u2 w3 v3 + u3 w3 v1 ] · j
+[u2 w2 v2 − u3 w2 v3 − u3 w1 v1 + u1 w1 v3 ] · k.