2.4. Producto vectorial
105
Teorema 2.7 Sean u, v y w vectores en R3 . Entonces,
1. ≺ u, u × w ≻= 0,
2. ≺ w, u × w ≻= 0,
3. ku × wk2 = kuk2 kwk2 − (≺ u, w ≻)2 ,
4. u × (v × w) =≺ u, w ≻ ·v− ≺ u, v ≻ ·w,
5. (u × v) × w =≺ u, w ≻ ·v− ≺ v, w ≻ ·u.
Prueba.
Del teorema 2.7 se harán las pruebas de los impares y los pares se dejan como actividad
para los estudiantes.
1. Sean u = u1 · i + u2 · j + u3 · k, v = v1 · i + v2 · j + v3 · k
y w = w1 · i + w2 · j + w3 · k vectores en R3 .
Por la definición 2.9, tenemos que
u2 u3
u1 u3
u1 u2
· k
u×w =
·i−
·j+
w2 w3
w1 w3
w1 w2
u2 u3
u1 u3
u1 u2
− u2
≺ u, u × w ≻ = u1
w1 w3 + u3 w1 w2
w2 w3
= u1 (u2 w3 − w2 u3 ) − u2 (u1 w3 − w1 u3 ) + u3 (u1 w2 − w1 u2 )
= u1 u2 w3 − u1 w2 u3 − u2 u1 w3 + u2 w1 u3 + u3 u1 w2 − u3 w1 u2
= 0.
Por lo tanto,
≺ u, u × w ≻= 0.
3. Sean u = u1 · i + u2 · j + u3 · k, v = v1 · i + v2 · j + v3 · k
y w = w1 · i + w2 · j + w3 · k vectores en R3 .
Por la definición 2.9, tenemos que
u × w = (u2 w3 − u3 w2 ) · i + (u3 w1 − u1 w3 ) · j + (u1 w2 − u2 w1 ) · k
ku × wk2 = (u2 w3 − w2 u3 )2 + (u1 w3 − w1 u3 )2 + (u1 w2 − w1 u2 )2
= u22 w32 − 2u2 u3 w3 w2 + w22 u23 + u21 w32 − 2u1 u3 w3 w1 + w12 u23
+u21 w22 − 2u1 u2 w2 w1 + w12 u22 .