2.3. Proyecciones ortogonales euclidianas
101
Los vectores en R3 , denominados vectores espaciales, aparecen en numerosas aplicaciones, especialmente en Física. De hecho frecuentemente se utiliza una notación
especial para tales vectores, esto es
i = (1, 0, 0) denota el vector unitario en dirección x,
j = (0, 1, 0) denota el vector unitario en dirección y,
k = (0, 0, 1) denota el vector unitario en dirección z.
z
k •
•
y
j
i
•
x
Figura 2.26:
Interpretación gráfica de los vectores i, j, k
Obsevación 2.10
a) Cada vector u = (u1 , u2 , u3 ) en R3 se puede expresar de manera única de la siguiente
manera
u = (u1 , u2 , u3 ) = u1 · i + u2 · j + u3 · k.
b) Los vectores i, j y k son unitarios y son mutuamente ortogonales.
c) Las diversas operaciones vectoriales discutidas previamente se pueden expresar de
la siguiente manera.
Sean u = u1 · i + u2 · j + u3 · k, w = w1 · i + w2 · j + w3 · k vectores en R3 y α ∈ R.
Entonces,
1. u + w = (u1 + w1 ) · i + (u2 + w2 ) · j + (u3 + w3 ) · k,
2. α · u = αu1 · i + αu2 · j + αu3 · k,
p
√
3. kuk = ≺ u, u ≻ = u21 + u22 + u23 ,
4. ≺ u, w ≻= u1 w1 + u2 w2 + u3 w3 .