2.3. Proyecciones ortogonales euclidianas
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Si u y w son vectores en R3 , aplicando el mismo razonamiento de la prueba anterior,
se tiene que
| ≺ u, v ≻ | ≤ kukkwk.
3. Sean u y w vectores en R2 . Por hipótesis los vectores u y w son ortogonales, entonces
por la definición 2.8, se tiene que ≺ u, w ≻= 0. Luego,
ku + wk2 = ≺ u + w ≻≺ u + w ≻
(por el teorema 2.4(5))
= kuk2 + 2 ≺ u, w ≻ +kwk2 (por el teorema 2.4)
= kuk2 + kwk2 .
Así,
(por hipótesis)
ku + wk2 = kuk2 + kwk2 .
Si u y w son vectores en R3 , aplicando el mismo razonamiento de la prueba anterior,
se tiene que
ku + wk2 = kuk2 + kwk2 .
2.3.
Proyecciones ortogonales euclidianas
Hasta ahora sabemos que sumar vectores da como resultado un vector, pero en muchas
aplicaciones a la Física plantea el caso inverso, es decir, descomponer un vector como
suma de vectores componentes. A continuación se se hará un estudio riguroso de tal
situación de una manera algebraica y geométrica.
Sean u y b dos vectores de R2 o R3 , con b distinto de cero. El principal objetivo es
poder representar u como suma de dos vectores, uno paralelo a b y el otro vector
perpendicular a b. Si u y b se colocan de modo que sus puntos iniciales coincidan en un
punto Q, entonces es posible descomponer el vector u como sigue (figura 2.24). Trazar
el vector w1 que va de Q al pie de esta perpendicular. luego, se forma la diferencia
w2 = u − w1 .
w2
u
Q w1
Figura 2.24:
b
u w2
u
w2
Q
b
w1
w1
Q
b
Interpretación gráfica de la proyección de u sobre w