2. Vectores en Fn con n = 1, 2, 3, · · ·
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Por la que figura 2.24, tenemos que w1 + w2 = w1 + (u − w1 ) = u. El vector w1 se
denomina proyección ortogonal euclidiana de u sobre b y se denota por proyb (u).
El vector w2 se denomina componente vectorial de u ortogonal al vector b. Como
w2 = u − w1 , entonces w2 = u − proyb (u).
Teorema 2.6 Sean u y b vectores en R2 o R3 , com b 6= 0. Entonces,
1. proyb (u) =
≺ u, b ≻
· b,
kbk2
2. u − proyb (u) = u −
≺ u, b ≻
· b.
kbk2
Prueba.
Del teorema 2.6 se hará la prueba del impar y el par se deja como actividad para los
estudiantes.
1. Sean u y b vectores en R2 com b 6= 0, w1 = proyb (u) y w2 = u − proyb (u). Como w1
es paralelo a b (figura 2.24), se tiene que existe k ∈ R tal que w1 = k · b.
Luego, u = w1 + w2 = k · b + w2 , ahora aplicamos producto punto en ambos miembros
de la igualdad con b se obtiene que
≺ u, b ≻=≺ k · b + w2 , b ≻ .
Por el teorema 2.4, se tiene que
≺ u, b ≻=≺ k · b + w2 , b ≻= kkbk2 + ≺ w2 , b ≻ .
Pero ≺ w2 , b ≻= 0, ya que w2 ⊥ b. Por lo tanto, k =
Por lo tanto,
w1 = proyb (u) =
≺ u, b ≻
.
kbk2
≺ u, b ≻
· b.
kbk2
Si u y b son vectores en R3 , aplicando el mismo razonamiento de la prueba anterior,
se tiene que
≺ u, b ≻
· b.
w1 = proyb (u) =
kbk2