2. Vectores en Fn con n = 1, 2, 3, · · ·
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Prueba.
Del teorema 2.5 se harán las pruebas de los impares y los pares se dejan como actividad
para los estudiantes.
1. Sean u y w vectores en R2 .
Caso I. Supongamos que u = (0, 0) = 0, entonces:
| ≺ u, w ≻ | = | ≺ 0, w ≻ | (por hipótesis)
= 0
kukkwk = k0kkwk
= 0.
(por la definición 2.7)
(por hipótesis)
(por la definición 2.5)
Así,
| ≺ u, w ≻ | = kukkwk.
Caso II. Supongamos que u 6= 0, sea t ∈ R y consideremos el vector z = t · u + w.
Luego, por el teorema 2.4(4), se tiene que ≺ z, z ≻≥ 0. Así,
≺ z, z ≻ = ≺ t · u + w, t · u + w ≻
=
t2
(por hipótesis)
≺ u, u ≻ +2t ≺ u, v ≻ + ≺ w, w ≻ . (por el teorema 2.4)
Entonces,
t2 ≺ u, u ≻ +2t ≺ u, v ≻ + ≺ w, w ≻≥ 0.
Ahora, con a =≺ u, u ≻, b = 2 ≺ u, v ≻ y c =≺ w, w ≻, se obtiene la desigualdad
cuadrática at2 + bt + c ≥ 0. Como ésta desigualdad nunca es negativa, o bien, no
tiene raíces reales o tiene una sola raíz real respectiva. Sin embargo, por la fórmula
cuadrática, lo anterior implica que el discriminante b2 − 4ac es menor o igual a cero.
Es decir,
b2 − 4ac ≤ 0
b2 ≤ 4ac
(2 ≺ u, v ≻)2 ≤ 4 ≺ u, u ≻≺ w, w ≻
4 ≺ u, v ≻2 ≤ 4 ≺ u, u ≻≺ w, w ≻
Por lo tanto,
≺ u, v ≻2 ≤ ≺ u, u ≻≺ w, w ≻
p
√
≺ u, v ≻2 ≤
≺ u, u ≻≺ w, w ≻
√
√
| ≺ u, v ≻ | ≤
≺ u, u ≻ ≺ w, w ≻.
| ≺ u, v ≻ | ≤ kukkwk.