2.2. Producto punto euclidiano en R2 y R3
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1. Sean u = (u1 , u2 ) y w = (w1 , w2 ) vectores en R2 . Entonces,
≺ u, w ≻ = u1 w1 + u2 w2 (por la definición 2.7)
= w1 u1 + w2 u2 (por propiedades de R)
= ≺ w, u ≻ .
(por la definición 2.7)
Por lo tanto, ≺ u, w ≻=≺ w, u ≻ .
Si u y w son vectores en R3 , aplicando el mismo razonamiento de la prueba anterior,
se tiene que
≺ u, w ≻=≺ w, u ≻ .
3. Sean u = ( u1 , u2 ), w = (w1 , w2 ) vectores en R2 y k ∈ R. Entonces,
(por la definición 2.7)
k ≺ u, w ≻ = k(u1 w1 + u2 w2 )
= (ku1 )w1 + (ku2 )w2 (por propiedades de R)
(por la definición 2.7)
= ≺ ku, w ≻
De manera análoga se prueba que, k ≺ u, w ≻=≺ u, kw ≻.
Así, k ≺ u, w ≻=≺ ku, w ≻=≺ u, kw ≻ .
Si u y w son vectores en R3 , aplicando el mismo razonamiento de la prueba anterior,
se tiene que
k ≺ u, w ≻=≺ ku, w ≻=≺ u, kw ≻ .
5. Sea u = (u1 , u2 ) un vectores en R2 . Entonces,
≺ u, u ≻ = u1 u1 + u2 u2 (por la definición 2.7)
= u21 + u22
=
kuk2 .
(por propiedades de R)
(por la observación 2.8).
Por lo tanto, ≺ u, u ≻= kuk2 .
Si u y w son vectores en R3 , aplicando el mismo razonamiento de la prueba anterior,
se tiene que ≺ u, u ≻= kuk2 .
Teorema 2.5 Sean u, w vectores de R2 o R3 . Entonces,
1. | ≺ u, w ≻ | ≤ kukkwk, (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)
2. ku + wk ≤ kuk + kwk, (Desigualdad triangular)
3. Si u y w son ortogonales, entonces ku + wk2 = kuk2 + kwk2 .