2.2. Producto punto euclidiano en R2 y R3
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Definición 2.8 Sean u y w vectores de R2 o R3 . Diremos que los vectores u y w son
ortogonales, denotado por u ⊥ w, si ≺ u, w ≻= 0.
Al observar la actividad 6, tenemos que los vectores A y B son ortogonales ya que
≺ A, B ≻= 0.
Ejemplo 2.14
a) Sean u = (1, −2, 3), w = (−3, 4, 2) y b = (3, 6, 3) un vector de R3 . Entonces,
≺ u, w ≻ = (1)(−3) + (−2)(4) + (3)(2) = −5.
≺ w, b ≻ = (−3)(3) + (4)(6) + (2)(3) = 21.
≺ u, b ≻ = (1)(3) + (−2)(6) + (3)(3) = 0.
Por lo tanto, u y w forma un ángulo obtuso, w y b forma un ángulo agudo y u y b son
ortogonales.
b) Determinar todos los vectores de R2 que son ortogonales a u = (4, 2).
Sea w = (x, y) un vector ortogonal a u. Entonces por la definición 2.8. Se tiene que,
≺ u, w ≻ = 4x + 2y
≺ u, w ≻ = 0
4x + 2y = 0
y = 2x.
Por lo tanto, todo vector ortogonal a u es de la w = (t, 2t) = t · (1, 2) donde t es un
número real.
Obsevación 2.9 Sean u y w vectores de R2 o R3 . Diremos que los vectores u y w son
paralelos, denotado por u//w, si existe un escalar k ∈ R tal que u = k · w.
Actividad 7. Si María en su carro se traslada en linea recta desde el punto P =
(2, 2, −1) hasta Q = (2, 4, 1). Luego de cierto tiempo se traslada del punto Q = (2, 4, 1)
hasta llegar a R = (2, 7, 4) en linea recta. ¿Qué recorrido da María en su carro desde
el punto (2, 2, −1) hasta (2, 7, 4)?
Solución. Como María se traslada en su carro del punto P = (2, 2, −1) al punto
−−→
Q = (2, 4, 1) en linea recta entonces, por la observación 2.4 tenemos que P Q = (2 −
2, 4 − 2, 1 + 1) = (0, 2, 2). Luego, se traslada del punto Q = (2, 4, 1) hasta R = (2, 7, 4)
−−
→
en linea recta. Esto es, QR = (2 − 2, 7 − 4, 4 − 1) = (0, 3, 3).
2
Tomemos k = , se tiene que,
3