2. Vectores en Fn con n = 1, 2, 3, · · ·
92
Por lo tanto, ≺ u, w ≻= 3.
p
√
√
√
Además, kuk = 22 + (−1)2 + 12 = 6 y kwk = 12 + 12 + 22 = 6.
Luego por la observación 2.7, tenemos que
3
√ √
6 6
1
.
2
cos(θ) =
=
Así, θ = 600 .
b) Consideremos los vectores u = (3, 0, −3) y w = (3, −7, 3). Determinar el ángulo
entre u y w.
Solución. Por la definición 2.7. Se tiene que,
≺ u, w ≻ = 3(3) + 0(−7) + (−3)3
= 0.
Entonces, ≺ u, w ≻=p
0.
p
√
√
Por otro lado, kuk = 32 + 02 + (−3)2 = 18 y kwk = (3)2 + (−7)2 + (3)2 = 67.
Luego por la observación 2.7, tenemos que
cos(θ) =
√
0
√
18 67
= 0.
Esto quiere decir que, θ = 900 .
Obsevación 2.8 Observe que los números kuk y kwk siempre son positivos, entonces
≺ u, w ≻ y cos(θ) tendrán el mismo signo. Además, dado que es coseno es positivo en
el primer cuadrante y negativo en el segundo cuadrante, entonces el signo del producto
punto de dos vectores puede usarse para determinar si el ángulo entre ellos es agudo o
obtuso, como se observa en la figura 2.23.
Dirección
opuesta
≺ u, w ≻> 0
θ
−u
·
θ=π
u
u
θ
·
w
0<θ<
Figura 2.23:
≺ u, w ≻< 0
θ
u
·
π
2
π
2
w
<θ<π
Misma
dirección
≺ u, w ≻= 0
u
·
θ
w
θ = π2
·
u
w
θ=
Interpretación gráfica del ángulo θ entre u y w
π
2