Planck descubre que su ecuación predice correctamente el espectro de
energía de radiación de cuerpo negro. Cuando en la ecuación de Planck
la frecuencia es baja, debe llevar a la ley de Rayleigh-Jeans; en efecto,
si hacemos que v sea muy pequeña lo que permite aplicar la función de
Taylor, entonces:
Al sustituir en ecuación (6) se tiene ley de Rayleigh-Jeans:
Con lo que usar una fórmula para sumas infinitas:
Se llega a:
Al sustituir esto en la ecuación (17), se llega entonces a la ley de
Planck descrita en la ecuación (12). Otra deducción, pero más de índole
numérico es la que se desarrolla en Mendoza Santos y Hernández Sán-
chez (2015) donde se usa la ley del desplazamiento de Wien:
Asimismo, cuando en la ecuación de Planck la frecuencia es alta, lleva
a la ley de Wien:
Ante los aciertos de la ley de Planck, es el momento propicio en que
Planck decide conjuntar la constante de Boltzman y Wien, tal que ahora
es la constante de Planck:
Donde λ max es longitud de onda máxima; se inicia con la densidad de
energía radiante que puede determinarse de la ecuación (7) mediante el
uso del jacobiano de la transformación, pues existe la necesidad de pasar
de una función que depende de la frecuencia v a otra que depende de la
longitud de onda λ tal ecuación resulta en:
Por tanto, se escribe la ley de Planck como:
Pero lo de más repercusión es que concluye que la energía de ondas de
luz solo puede tener ciertos valores fijo:
Es decir, tiene siempre un resultado de 0hv, 1hv, 2hv, 3hv... asimis-
mo, si la ecuación (13) es correcta, a partir de ella se puede derivar la
ecuación de Planck ecuación descrita en la ecuación (12), empleando ley
de Boltzman que es el número de veces que ocurre un cierto nivel de
energía, se tiene:
Luis De la Peña (2003) recomienda usar el subíndice para indicar tem-
peratura constante. Se puede demostrar que esta es equivalente a la forma
de la ecuación (7), pero considerando que dv=-c/λ 2 ; y que se debe usar el
valor absoluto del jacobiano de la transformación, tal que E(λ) T =/J/U(v)
sin entrar en mayor detalle en lo anterior, se considera en la ecuación (22)
para efectuar el cambio de variable siguiente:
La energía se escribe ahora como:
Es importante recordar que la energía está limitada a ciertos a valores
0hv, 1hv, 2hv, 3hv... la Tabla 1 ordena el nivel de energía y la ocurrencia.
Tabla 1. Nivel de energía y ocurrencia.
Que puede reescribirse como:
La energía promedio es entonces:
Que al sustituir ley de Boltzman y ley de Planck se tiene:
Y efectuando el cambio de variable, se tiene:
22
Revista Científica
Al resolver por algún método numérico se tiene que x=4.96511; en-
tonces, usando ley de desplazamiento de Wien descrita en la ecuación
(21) y ecuación (22):