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3.2. LA FUNZIONE GAUSSIANA

f (x, y) =

M −1
x=0

N −1
y=0

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ux

vy

F (u, v)ei2π( M + N )

v9import—nz— di questo strumento m—tem—ti™o —ll9interno dell9el—˜or—zioni
delle imm—giniD e in gener—le nell— teori— dei segn—liD è d—to d—l „eorem— di
™onvoluzione se™ondo il qu—le d—te due funzioni f@xDyA e g@xDyA de(nite nel doE
minio tempor—leD ™—l™ol—re l— loro ™onvoluzione signi(™— moltipli™—re tr— loro le
rispettive tr—sform—te di pourierF porm—lmente

f (x, v) ∗ g(x, y) ⇐⇒ F (u, v) · G(u, v)
evendo già pre™is—to dett—gli—t—mente le mod—lità di progett—zione di un
(ltro sp—zi—le nel p—r—gr—fo pre™edenteD ™i rendi—mo ™onto ™he il teorem— di
™onvoluzione o're un— un metodo —ltern—tivo per ™—l™ol—re l— ™onvoluzione tr—
due funzioniF enzi™hé pro™edere ™on l— ™ostruzione dell— m—s™her— ™he rispe™™hi
un— determin—t— funzione e pro™edere ™on l— ™onvoluzione dirett— potremmo
™—l™ol—re l— tr—sform—t— di pourier dis™ret— si— dell9imm—gine ™—mpione ™he dell—
funzione e pro™edere ™on l— sempli™e moltipli™—zione dei ™—mpioni ™orrispondenti
nel dominio delle frequenz—F ƒi deline— un pro™edimento suddiviso in Q p—ssiX
IF „r—sform—re se™ondo l— hp„ si— l— funzione dell9imm—gine ™—mpione si—
quell— rel—tiv— —l (ltroD in modo d— des™rivere il nostro pro˜lem— nel
dominio delle frequenz—Y
PF iseguire l— moltipli™—zione tr— le due tr—sform—teY
QF entitr—sform—re l— funzione prodotto se™ondo l— hp„D ottenendo un—
funzione de(nit— nel dominio sp—zi—le ™he risult— essere l— soluzione —ll—
™onvoluzione delle due funzioni inizi—liF
h—l punto di vist— m—tem—ti™o —ppli™—re l— tr—sform—t— di pourier —d un— funE
zione dis™ret— ™ome lo sono le imm—gini non ™—us— perdit— di inform—zione ed
è sempre —ppli™—˜ile in qu—nto p—rli—mo di segn—li ™he h—nno un— dur—t— limE
it—t— nello sp—zioF snoltreD nonost—nte il dominio delle frequenze risulti essere
un ™—mpo ™omplessoD visto ™he gli input sono imm—gini des™ritte d—i livelli di
grigio e le funzioni di (ltr—ggio sono funzioni de(nite su ™—mpo re—leD —n™he le
oper—zioni di tr—sform—t— e —ntitr—sform—t— d—r—nno in output sempre funzioni
de(nite su ™—mpo re—le@o meglio funzioni ™he —vr—nno p—se p—ri — HAF