Tesi Robotica Analisi, progettazione e implementazione... | Page 53

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“LP_Tesi” — 2013/10/17 — 18:27 — page 53 — #53

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1.5. CAMERE MULTIPLE

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Le linee epipolari possono essere facilmente ricavate dalla matrice essenziale.
L’equazione della retta in 2D in coordinate omogenee può essere espressa come
l˜ = 0, in cui l = [ a b c ] sono coefficienti della retta. Guardando adesso
x
all’espressione x2 E x1 = 0 si può notare che xT E rappresenta un vettore 1 ×
˜ ˜
˜2
3, questo vettore rappresenta proprio una linea epipolare e quindi possiamo
scrivere:
l1 = xT E
˜2
l2 = xT E T
˜1
Decomposizione di matrici essenziali
La soluzione del problema dell’orientamento relativo definisce in che modo la
matrice essenziale E possa essere decomposta per poter ottenere la matrice di
rotazione Ω e il vettore di traslazione τ . Per decomporla si definisce prima di
tutto la matrice


0
W = 1
0

−1
0
0


0
0 
1

Calcolando quindi la decomposizione a valore singolare della matrice E = U LV T
è possibile ottenere i valori cercati:
τ× = U LW U T
Ω = U W −1 V T
La precedente decomposizione non è affatto ovvia ma è facile controllare che la
moltiplicazione di τ× per Ω ritorni la matrice essenziale.
Quella riportata è solo una delle 4 possibili combinazioni di τ× e Ω che moltiplicate ritornano la matrice essenziale. Questa ambiguità è dovuta al fatto che
il modello pinhole che stiamo usando non distingue fra oggetti che si trovano

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