Tesi Robotica Analisi, progettazione e implementazione... | Page 52

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“LP_Tesi” — 2013/10/17 — 18:27 — page 52 — #52

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1. APPROCCIO CLASSICO

moltiplicando a destra e sinistra per il prodotto vettoriale di τ si ottiene:
λ2 τ × x2 = λ1 τ × Ω˜1
˜
x
il termine τ a destra sparisce dato che il prodotto vettoriale di un vettore per se
stesso è 0, adesso moltiplicando a destra e sinistra per il prodotto scalare x2 si
˜
ottiene:
xT τ × Ω˜1 = 0
˜2
x
dato che τ ×x2 è sicuramente perpendicolare a x2 , moltiplicando fra loro i termini
˜
˜
la parte sinistra della precedente formula si annulla. Nell’ultimo risultato è stato
eliminato anche il fattore di scala λ1 .
In fine facendo una particolare osservazione si può notare che il prodotto vettoriale τ ×può essere espresso come una normale moltiplicazione fra matrici
sostituendo il termine τ con la matrice 3 × 3 τ× :


0
τ× =  τz
−τy

−τz
0
τx


τy
−τx 
0

Portando all’equazione finale:
xT E x1 = 0
˜2 ˜
In cui E = τ× Ω è conosciuta come matrice essenziale, tale matrice è una forma
elegante per rappresentare il legame che esiste tra un punto x1 ed un punto x2
˜
˜
di due telecamere normalizzate.
Proprietà della matrice essenziale
La matrice essenziale è una matrice 3 × 3 di rango 2. I suoi valori dipendono
esclusivamente dalla rotazione e dalla traslazione fra le due camere, dunque le
incognite da calcolare sono 3 angoli e 3 scostamenti spaziali, per questo motivo si
dice che il sistema ha 6 gradi di libertà, tuttavia la matrice è invariante rispetto
alla scala, per questo motivo i gradi di libertà diventano 5.

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