Tesi Robotica Analisi, progettazione e implementazione... | Page 46

i i “LP_Tesi” — 2013/10/17 — 18:27 — page 46 — #46 i 46 i 1. APPROCCIO CLASSICO 1.4.1 Apprendimento parametri estrinseci Ancora una volta l’obiettivo è quello di stimare i parametri estrinseci, che rappresentano la posizione τ e l’orientamento della camera Ω nelle coordinate mondo data la matrice di parametri intrinseci Λ e le coppie di punti corrispondenti N {xi , wi }i=1 dove in questo caso però, i punti wi giacciono tutti sullo stesso piano, e quindi wi = [u, v, 0], ossia N ˆ ˆ ΩM L , τM L = argmax Ω,τ log N xi |pinhole (wi , Λ, Ω, τ ) , σ 2 I i=1 Chiaramente il problema rimane non lineare, quindi bisogna ricorrere a tecniche numeriche iterative per individuare una buona soluzione. Come al solito la scelta della soluzione iniziale influisce sul risultato ed una buona stima iniziale può essere ottenuta calcolando prima l’omografia Φ tra i punti sul piano e i punti dell’immagine, in coordinate omogenee          x φx γ δ x ω1,1 ω1,2 τx u φ1,1 φ1,2 φ1,3 u λ y  = λ  0 φy δy  ω2,1 ω2,2 τy  v  = φ2,1 φ2,2 φ2,3  v  1 0 0 D ω3,1 ω3,2 τz 1 φ3,1 φ3,2 φ3,3 1 e decomponendo l’omografia per recuperare la matrice di rotazione Ω e il vettore di traslazione τ . Come prima cosa, viene eliminato l’effetto dei parametri intrinseci premoltiplicando l’omografia Φ per l’inversa della matrice dei parametri intrinseci Λ−1 , ottenendo la nuova omografia Φ = Λ−1 Φ. La matrice Ω deve essere una valida matrice di rotazione, quindi bisogna trovare la matrice di rotazione valida più simile possibile a Φ . Le prime due colonne di Ω sono calcolate decomponendo le prime due colonne di Φ   φ1,1 φ1,2 φ2,1 φ2,2  = U LV T φ3,1 φ3,2 e ponendo  ω1,1 ω2,1 ω3,1   ω1,2 1 ω2,2  = U 0 ω3,2 0  0 1 V T 0 La terza colonna è calcolata effettuando il prodotto vettoriale delle prime due colonne, in modo da assicurare che le tre colonne della matrice siano ortogonali. i i i i