Tesi Robotica Analisi, progettazione e implementazione... | Page 41

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“LP_Tesi” — 2013/10/17 — 18:27 — page 41 — #41

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1.3. TRASFORMAZIONI PLANARI

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Come visto nella Sezione 1.1 apprendere significa stimare i parametri del modello
probabilistico tramite l’utilizzo di un insieme di osservazioni. In questo caso, le
N
osservazioni corrispondono alle coppie di punti corrispondenti {xi , wi }i=1 , dove
i wi sono i punti che giacciono sul piano nel mondo e i punti xi le posizioni dei
corrispondenti punti sul piano dell’immagine, mentre il vettore di parametri θ
da stimare dipende dalla trasformazione.
Utilizzando il metodo della maximum likelihood, intendiamo massimizzare il
logaritmo della funzione di likelihood sopra descritta. Sostituendo l’espressione
della distribuzione Normale nella funzione di log-likelihood e semplificando si
ottiene come visto nella Sezione 1.1 il seguente problema di minimi quadrati
N
T

ˆ
θM L = argmin
θ

(xi − t (wi , θ)) (xi − t (wi , θ))
i=1

Di seguito le derivazioni per i vari tipi di trasformazione.
Apprendimento parametri Euclidei
La trasformazione euclidea è definita da tre parametri che corrispondono all’angolo di rotazione e le due coordinate di traslazione. Dato che ogni coppia
di punti corrispondenti pone due vincoli alla soluzione, sono necessarie almeno
N = 2 coppie di punti per determinare univocamente
N
T

ˆ
ˆ
ΩM L , τM L = argmin
Ω,τ

(xi − Ωwi − τ ) (xi − Ωwi − τ )
i=1

soggetta al vincolo che la matrice Ω sia una matrice di rotazione, quindi ortonormale, ossia ΩΩT = I e |Ω| = 1. Lo stimatore per il vettore della traslazione
può essere ottenuto derivando la funzione obiettivo rispetto a τ e ponendola a
zero, ottenendo l’espressione
ˆ
τM L =

N
i=1

xi − Ωwi
= µx − Ωµw
N

La stima della matrice di rotazione si ottiene invece sostituendo nella funzione
ˆ
obiettivo il valore stimato τ ottenendo
N
T

ˆ
ΩM L = argmin
Ω

((xi − µx ) − Ω (wi − µw )) ((xi − µx ) − Ω (wi − µw ))
i=1

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