Tesi Robotica Analisi, progettazione e implementazione... | Page 31

i i “LP_Tesi” — 2013/10/17 — 18:27 — page 31 — #31 i 1.2. MODELLO PARAMETRICO DELLA CAMERA i 31 utilizzando una camera normalizzata, ottenendo    ω1,1 xi λi  yi  = ω2,1 1 ω3,1 ω1,2 ω2,2 ω3,2    u τx  i  v τy   i  wi  τz 1 ω1,3 ω2,3 ω3,3 Tramite l’ultima equazione si ottiene il valore della costante λi λi = ω3,1 ui + ω3,2 vi + ω3,3 wi + τz e sostituendo nelle altre due otteniamo  (ω3,1 ui + ω3,2 vi + ω3,3 wi + τz ) xi ω = 1,1 (ω3,1 ui + ω3,2 vi + ω3,3 wi + τz ) yi ω2,1 ω1,2 ω2,2 ω1,3 ω2,3 τx τy  ui  vi    wi  1 Queste due equazioni lineari possono essere costruite per ogni coppia di punti. Raggruppandole tutte assieme si può formare il sistema   ω1,1  u 1  0  u2  0   .  .  . uN 0 v1 0 v2 0 . . . vN 0 w1 0 w2 0 . . . wN 0 1 0 1 0 . . . 1 0 0 u1 0 u2 . . . 0 uN 0 v1 0 v2 . . . 0 vN 0 w1 0 w2 . . . 0 wN 0 1 0 1 . . . 0 1 −u1 x1 −u1 y1 −u2 x2 −u2 y2 . . . −uN xN −uN yN −v1 x1 −v1 y1 −v2 x2 −v2 y2 . . . −vN xN −vN yN −w1 x1 −w1 y1 −w2 x2 −w2 y2 . . . −wN xN −wN yN ω  ω1,2   1,3  x1   y1   τx  ω2,1  x2    y2  ω2,2    ω2,3  .  .  .  τy  ω  xN  3,1  ω3,2  yN   ω3,3 τz uguale a 0 Il problema è dunque stato posto nella forma Ab = 0 dove siamo interessati 2 al valore di b che minimizza |Ab| soggetto al vincolo |b| = 1 per evitare la soluzione banale b = 0 la cui soluzione si ottiene calcolando la SVD di A = U LV T e ponendo b come l’ultima colonna di V . La stima iniziale dei parametri estrinseci così ottenuta ricostruita a partire da b può essere soggetta ad un fattore di scala arbitrario. Bisogna quindi calcolare i i i i