Tesi Robotica Analisi, progettazione e implementazione... | Page 25

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“LP_Tesi” — 2013/10/17 — 18:27 — page 25 — #25

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1.1. MAXIMUM LIKELIHOOD

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dove la funzione di verosimiglianza L è una funzione dei parametri θ.
A questo punto è possibile definire lo stimatore maximum likelihood (ML) come
N

ˆ
θM L = argmax
θ

p (xi |θ)
i=1

Un risultato significativo si ha quando le osservazioni sono corrotte da rumore
che si assume avere distribuzione normale N µ, σ 2 . In questo caso la stima
Maximum Likelihood dei parametri diventa
N

µM L , σM L = argmax
ˆ
ˆ2
µ,σ 2

N xi |µ, σ 2
i=1

Questa funzione può essere ottimizzata derivando rispetto ad ognuno dei parametri
e successivamente ponendo a zero ciascuna derivata parziale. Per semplificare i
passaggi conviene ottimizzare il logaritmo della funzione di likelihood, dato che
trasforma le moltiplicazioni in somme ed elimina gli esponenziali. Dal momento
che il logaritmo è una funzione monotona crescente la posizione dei punti di
ottimo non cambia.
N
i=1

µM L , σM L = argmax µ,σ2
ˆ
ˆ2

log N xi |µ, σ 2
N

= argmax log −0.5N log (2π) − 0.5N log σ 2 − 0.5
µ,σ 2

i=1

2

(xi − µ)
σ2

Differenziando la log-likelihood rispetto a µ e σ 2 si ottengono i valori stimati
µM L e σM L .
ˆ
ˆ2
Concentrandosi sulla stima del parametro µ e manipolando la log-likelihood si
ottiene il seguente risultato
N

µM L
ˆ

=

argmax log −0.5N log (2π) − 0.5N log σ 2 − 0.5
µ

i=1

2

(xi − µ)
σ2

N

=

argmax log −
µ

(xi − µ)

2

i=1
N

=

(xi − µ)

argmin log
µ

2

i=1

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