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1.5. FILTRO DI SMOOTHING GAUSSIANO

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dove ‹ 2 = 1/‡2 è la deviazione standard del dominio della frequenza che è il
reciproco della deviazione standard nel dominio spaziale.
Ciò ci porta alle seguenti considerazioni:
• Per valori piccoli di ‡ corrispondono valori grandi di ‹, ossia, il filtro
gaussiano produce uno smoothing lieve se la deviazioni standard ha valori
piccoli (che corrispondono a valori grandi nel dominio delle frequenze) che
come conseguenze porta ad un limitato taglio delle alte frequenze.
• Al contrario se ‡ ha valori alti, l’operazione di smoothing è notevolmente
accentuata avendo in corrispondenza un valore piccolo di ‹ ed eliminando
così un numero maggiore di alte frequenze. In quest’ultimo caso, l’eliminazione delle alte frequenze comporta sia una maggiore attenuazione del
rumore che delle strutture presenti nel dominio spaziale.
Con la funzione di trasferimento H(u) ancora gaussiana nel dominio delle frequenze, si conferma nuovamente l’esistenza di un unico picco.

1.5.3

Separabilità del filtro gaussiano

In questa sezione si spiegherà la proprietà forse più importante del filtro, infatti
in seguito vedremo come migliorare l’e cienza dell’implementazione sfruttando
questa semplice proprietà della funzione gaussiana, la proprietà di separabilità. Infatti possiamo riassumere una funzione gaussiana bidimensionale come il
prodotto di due gaussiane monodimensionali.
Siano h(i, j) e f (i, j) rispettivamente la funzione di trasferimento e l’immagine
da filtrare, segue che:
g(i, j) = h(i, j) ı f (i, j) =
=
=

q q
l

k

q q

h(l, k)f (i ≠ l, j ≠ k)
(l2 +k2 )

≠ 2‡2
f (i ≠ l, j ≠ k)
ke
q ≠ l22 Ëq ≠ k22
2‡
2‡ f (i ≠ l, j ≠
le
ke
l

È
k)

dove l’espressione in alto indica la convoluzione (discreta) dell’immagine f (i, j)
con la funzione gaussiana monodimensionale h(k) che rappresenta la componente verticale.